Родился в Иркутске, был сыном исправника горного ведомства. В 1865 г. он с золотой медалью окончил Казанский университет. Работал земским врачом в Бугурусланском уезде Самарской губернии, затем фабричным врачом на механическом заводе пароходного общества «Кавказ и Меркурий», в Спасском затоне, на Волге. В 1869 г. вновь вернулся на земскую службу, заведовал больницей в Яранске. В июне 1871 г. по приглашению председателя Пермской губернской земской управы Д. Д. Смышляева переехал в Пермь и поступил на должность ординатора в губернской больнице, а затем стал первым губернским санитарным врачом.
В 1871 г. вышла в свет книга Моллесона «Земская медицина». Книга сыграла большую роль в проведении земских реформ в народном здравоохранении. В 1971 г. было отмечено 100-летие со дня появления труда Моллесона. В одной из юбилейных статей отмечалось, что интерес к этой книге не угас и в настоящее время; все, кто изучает возникновение и развитие земской медицины, историю санитарной организации в России и деятельность основоположников российской санитарии, не могут обойтись без этого замечательного издания.
29 апреля 1872 г. в Перми была учреждена санитарная комиссия во главе с В. И. Панаевым, старшим врачом губернской земской больницы. В состав комиссии вошли все врачи города. В августе 1872 г по инициативе Моллесона собрался первый съезд земских врачей Пермской губернии. Но вскоре деятельность комиссии начала вызывать недовольство Пермской губернской земской управы, возник конфликт, и комиссия была ликвидирована. Поводом для ее роспуска послужило решение комиссии организовать в Перми филиал Казанского научного общества врачей, несогласованное с Д. Д. Смышляевым. Врачи губернской больницы, являющиеся членами комиссии, во главе с В. И. Дунаевым вынуждены были подать заявление об уходе. Моллесон, которого в это время в городе не было, вернувшись в Пермь, присоединился к коллегам. Конфликт пермских врачей с земской управой широко обсуждался передовой общественностью России. Моллесон переехал в Шадринский уезд и многое сделал для развития земской медицины в этом районе.
В 1883 - 1888 гг. Моллесон снова работал в Перми. Он был редактором «Сборника Пермского земства» и с помощью этого издания фактически руководил развитием земской медицины в губернии. Передовые земские врачи были привлечены к сотрудничеству в сборнике, на его страницах появлялись многочисленные статьи о развитии земской медицины, о состоянии здоровья населения. С помощью Сборника Моллесон готовил съезды врачей Пермской губернии, на которых, по словам Е. П. Серебренниковой, ему «приходилось быть и председателем, и докладчиком, и секретарем, и корректором, и чернорабочим вообще».
Продолжению деятельности Моллесона в земстве Пермской губернии помешал новый конфликт с губернской управой. На этот раз поводом для конфликта стало открытие в Перми в 1886 г. санитарной станции - первой в России. Санитарная станция Пермского губернского земства была открыта по инициативе Р. Н. Румы, преподавателя и общественного деятеля, занимавшегося санитарно-гигиеническими исследованиями. Он и стал после открытия станции ее директором. Поскольку Рума не имел специального медицинского образования, врачи-участники III съезда врачей Пермской губернии потребовали увольнения его с поста директора станции. Земская губернская управа отказалась выполнить требование врачей, а организаторы протеста - Моллесон и В. И. Земблинов, старший врач губернской больницы, - были уволены.
1 сентября 1890 г. врачебная общественность России отметила 25-летний юбилей врачебной деятельности И. И. Моллесона, работавшего в это время в Саратовском земстве. Телеграммы и поздравления в Саратов пришли со всех концов России. На юбилее было зачитано письмо пермского врача Е. П. Серебренниковой, очень яркое и эмоциональное, в котором Евгения Павловна кратко Сложила весь трудовой и творческий путь Моллесона. Письмо полностью опубликовано в брошюре, посвященной юбилею замечательного земского врача. В Дальнейшем Моллесон работал в Тамбовском земстве, затем в Калужском, в 1911 г. переехал в Воронеж. Умер в 1920 г.
Пермские врачи-гигиенисты гордятся тем, что именно Пермь является родиной санитарного дела в России. Все эти сведения взяты из книги В. Т. Селезневой «Очерки по истории медицины в пермской губернии».
Остается лишь добавить, что жизнь Ивана Ивановича Моллесона и его деятельность представляют собой исключительно яркую и интереснейшую страничку не только в истории пермского здравоохранения, но и вообще в истории Перми и Пермского края. Сама по себе многотрудная жизнь этого энтузиаста первооткрывателя, борца могла бы послужить темой для большой и увлекательной книги. Моллесон легко и хорошо писал. В 1914 г. «Пермская земская неделя» опубликовала его воспоминания «Из первых лет жизни Пермского земства». Воспоминания очень интересны. Они характеризуют доктора Моллесона как человека умного, наблюдательного, благородного и совершенно незлопамятного. Об этом можно судить по его рассказу о Д. Д. Смышляеве: немного дошло до нас таких теплых и искренних строк, посвященных этому действительно незаурядному человеку. Моллесон пишет: «Он произвел на меня чарующее впечатление.. .» Давний конфликт, всегда смущающий биографов Смышляева, после этих слов трудно рассматривать в безнадежно черно-белом варианте.
Календарь знаменательных и памятных дат Пермской области, 2007 год, Пермская гос.краевая б-ка им.А.М.Горького